המתמטיקה של הייחוס

הכוזרי ורשימות היוחסין

התורה מלאה ברשימות של "מי הוליד את מי". למה זה חשוב לנו?

רבי יהודה הלוי, בספר הכוזרי (מאמר א, צה), עונה: יש באדם סגולה, "העניין האלוהי", כוח רוחני שמאפשר להגיע למדרגות גבוהות. הסגולה עוברת בתורשה מאב לבן. לפעמים היא מדלגת דור: תרח לא זכה בה, אך בנו אברהם קיבל אותה מסבו. הרשימות מתעדות את הדרך שעשתה הסגולה, עד שהגיעה לעם ישראל כולו.

השאלה שלנו: האם הרעיון הזה מתיישב עם המתמטיקה?

מלתוס ופיצוץ האוכלוסין

ב-1066 כבש ויליאם הכובש את אנגליה, וערך מפקד אוכלוסין כדי לגבות מסים. בזכותו אנחנו יודעים כמה אנשים חיו שם. עד 1800 גדלה האוכלוסייה מכמיליון לכעשרה מיליון: גידול איטי, כ-3.5% בכל דור. אחרי 1800, בזכות ירידת התמותה ושיפור ההיגיינה, הגידול קפץ לכ-25% בכל דור. האדמות התחלקו בין יותר מדי יורשים, איכרים עניים נהרו לערים, והמתח בין עשירים לעניים עיצב את המאה ה-19.

הכלכלן תומס מלתוס חזה אסון: המזון לא יספיק לכולם, ויבואו רעב, מלחמות ומגפות. לכן התנגד לעזרה לעניים ("חוקי העניים מייצרים את העניים שעליהם הם שומרים"), והמליץ לא להתחתן. עד היום התחזית לא התממשה: העושר גדל מהר יותר מהאוכלוסייה, וכל אדם מרוויח היום בממוצע כמעט פי עשרים מאשר לפני מאתיים שנה. השאלה אם מלתוס יצדק בסוף נשארה פתוחה, והיא נחשבת לאחת השאלות הגדולות של המדע. יש כלכלנים שחושבים שהצמיחה תיגמר. אחרים חושבים שיותר אנשים פירושם יותר רעיונות, ולכן יותר פתרונות.

ומה אומרת ההלכה על הימנעות מילדים?

פרו ורבו: "המסלול המהיר" ו"המסלול האיטי"

כמה ילדים צריך? ההלכה קובעת: בן ובת. עוד נפסק בהלכה שמי שעבר גיל עשרים ולא התחתן, בית הדין היה מכריח אותו להתחתן. אבל הרמ"א (אבן העזר א, ג) כותב שבזמננו כבר לא מכריחים.

למה? המרדכי, מפרש מימי הביניים, מסביר מהגמרא (בבא בתרא ס:). רבי ישמעאל בן אלישע, שחי אחרי חורבן בית שני, אמר: מאז שהרומאים גוזרים עלינו גזירות קשות, היה ראוי שנחליט לא להתחתן ולא להוליד, ו"זרעו של אברהם אבינו כלה מאליו". אבל עדיף לא לומר זאת לעם. לפי המרדכי, כיוון שראוי היה לבטל את המצווה, לפחות לא מכריחים. זהו "המסלול המהיר": ביטול גמור של המצווה, ובתוך דור העם נעלם.

בעלי התוספות לא קיבלו ביטול של מצווה מהתורה. לדבריהם, רבי ישמעאל התכוון רק שאחרי בן ובת לא ימשיכו להוליד. זהו "המסלול האיטי": אם לכל זוג יהיו רק שני ילדים, העם יקטן לאט, כי חלק מהילדים לא יקימו משפחה. בעולם כולו צריך בממוצע כ-2.33 ילדים לאישה כדי שהאוכלוסייה לא תקטן (במדינות מפותחות, שבהן כמעט כל הילדים שורדים, די בכ-2.1).

אבל כאן יש בעיה: כדי שיהיו בן ובת, שני ילדים לא תמיד מספיקים.

החשבון: שלושה ילדים

נתחיל בשאלה פשוטה: אם מולידים עד הבן הראשון ועוצרים, כמה ילדים יהיו בממוצע? לחצי מהמשפחות ייוולד בן מיד, לרבע – אחרי בת אחת, לשמינית – אחרי שתי בנות, וכן הלאה. הממוצע יוצא בדיוק שני ילדים.

משפחה שרוצה בן ובת: הילד הראשון ממלא חצי מהדרישה, ואחריו מחכים לילד מהמין השני. זו אותה שאלה, ולכן עוד שני ילדים בממוצע. סך הכול שלושה. וכיוון ששלושה זה יותר מ-2.33, גם ב"מסלול האיטי" העם לא ייעלם, אלא יגדל.

בפועל, רוב היהודים לאורך הדורות לא הגיעו אפילו לבן ובת. מחלות, רדיפות והתבוללות השאירו את העם בגודל כמעט קבוע. וזה הגיוני: אילו לכל זוג היו ארבעה ילדים, תוך 50 דורות היו 100 איש על כל מטר מרובע בעולם. גם מחקרים גנטיים מראים שלאורך ההיסטוריה, לכל זוג היו בממוצע רק מעט יותר משני ילדים ששרדו. גם חוקי הנחלות בתורה מתאימים רק לאוכלוסייה שכמעט אינה גדלה. התורה דואגת שכל שדה יישאר במשפחה לתמיד, למשל ביובל ובגאולת קרקע. אבל אם לכל אב יש כמה בנים, השדה מתחלק ביניהם בכל דור, ותוך דורות ספורים נשארות רק חלקות זעירות.

היום, הרפואה מאפשרת ליותר ילדים לשרוד, אבל אורח החיים המערבי מקטין את המשפחות. באירופה כבר מתים יותר אנשים מאשר נולדים. ובכל זאת, ישראל היא המדינה העשירה היחידה שבה נולדים יותר מ-2.33 ילדים לאישה. העם היהודי ישרוד, בניגוד להמלצת רבי ישמעאל.

מי רוצה להיות המשיח? ייחוס "חזק"

לפי הנביא ישעיהו (יא), המשיח יהיה "חוטר מגזע ישי", כלומר צאצא של ישי, אביו של דוד המלך. נניח שהמשיח צריך להיות "בן אחר בן": בנו של בנו של בנו של ישי. לא ברור עד כמה הדבר מעוגן בהלכה. יש מי שהציע שהמשיח יורש את המלוכה מדוד, אבל ירושה יכולה לעבור גם דרך בת, כשאין בן.

אם המשיח צריך להיות "בן אחר בן", זה כמו שם משפחה שעובר מאב לבן. אם רק לישי היה השם "בית הלחמי", כמה אנשים נושאים אותו היום?

במאה ה-19 הבחין המדען פרנסיס גלטון, בן דודו של דרווין, ששמות המשפחה של האצולה הבריטית נעלמים. הוצעו הסברים: האצילים לא רוצים לחלק את רכושם, הלחץ פוגע בפוריות, ואפילו – שהם אוכלים יותר מדי בשר. אבל גלטון והכומר ווטסון מצאו הסבר פשוט: מקריות. לכל אדם מספר אקראי של בנים, ושם שנעלם לא חוזר. הם הוכיחו שגם באוכלוסייה יציבה, כמעט כל שמות המשפחה נעלמים עם הזמן, ובסוף נשאר רק אחד. השם כאן הוא רק סימן לזרע: הוא עובר רק מאב לבן, בדיוק כמו כרומוזום Y בגנים. לכן כשהשם נעלם, שושלת "בן אחר בן" נקטעה, גם אם הזרע ממשיך דרך הבנות.

מימי דוד עברו כ-100 עד 150 דורות. בהנחה שהאוכלוסייה כמעט לא גדלה, כפי שהיה ברוב ההיסטוריה, הסיכוי ששושלת "בן אחר בן" שלו שרדה הוא בערך 1 ל-100 או 1 ל-150. ואם שרדה, יש לה כ-100 עד 150 צאצאים כאלה, כי השושלות המעטות ששורדות תופסות את מקומן של כל אלה שנעלמו. אלה המועמדים.

למה שושלת "בן אחר בן" נעלמת? באוכלוסייה יציבה, לכל אדם יש בממוצע בן אחד. אבל זה רק ממוצע: לאחד אין בנים, לאחר יש שלושה. לכן מספר הצאצאים בשושלת עולה ויורד במקרה, כמו מטבע שמטילים שוב ושוב. במוקדם או במאוחר יגיע דור שבו לאף אחד מהם אין בנים. ברגע שזה קורה, השושלת נגמרה לתמיד: מאפס אי אפשר לחזור.

תעלומת הכהנים. הכהונה עוברת בדיוק כמו שם משפחה: רק מאב לבן. לפי המסורת, כל הכהנים הם צאצאים "בן אחר בן" של אהרן הכהן. מחקרים גנטיים מצאו אצל כמחצית מהכהנים סימן משותף בכרומוזום Y, החלק בגנים שעובר רק מאב לבן. אצל שאר היהודים הסימן הזה נדיר: פחות מ-5%. לפי החשבון של גלטון ווטסון, שושלת כזו הייתה צריכה כמעט להיעלם, ואם שרדה, להשאיר כמה מאות צאצאים לכל היותר. אבל בפועל, הכהנים הם כ-5% מהעם היהודי: עשרות אלפים כבר לפני מאתיים שנה. איך זה ייתכן? ייתכן שבקבוצות ששמרו על קשרי משפחה הדוקים, כמו כהנים שהתחתנו עם בנות כהנים, נולדו ושרדו יותר בנים. אם כך, גם זרע דוד, כמשפחה מיוחסת, היה יכול לשרוד בסיכוי גבוה יותר. השאלה נשארת פתוחה.

ואצל השיעים. בעיה דומה יש למוסלמים השיעים. הם מאמינים שמנהיגם צריך להיות "בן אחר בן" של עלי, חתנו של מוחמד. רובם סבורים שהשושלת נקטעה לפני יותר מאלף שנה. רק זרם אחד טוען שמנהיגו, האגא חאן, הוא צאצא כזה, אבל ברשימה יש חורים חשודים.

ייחוס "חלש": כולנו צאצאי דוד

ומה אם הייחוס עובר גם דרך האמהות? לכל אחד מאיתנו שני הורים, ארבעה סבים, שמונה סבים-רבים, וכן הלאה. לפני 30 דורות יש לנו כמיליארד אבות קדמונים, יותר מכל בני האדם שחיו אז! זה אומר שכמעט כל מי שחי אז הוא אב קדמון שלנו.

מדענים הוכיחו זאת: אחרי מספר לא גדול של דורות, לכל אדם יש אחת משתי אפשרויות. או שאין לו בכלל צאצאים, או שכל האוכלוסייה צאצאיו. בעם של מיליון איש, זה קורה תוך כ-35 דורות, כ-875 שנה. באנושות כולה, תוך כ-1,300 שנה. גם הרים, ימים והבדלים בין עמים לא עוצרים זאת.

למה כולנו צאצאים של כולם? אם לאדם יש צאצאים, מספרם מוכפל בערך בכל דור: 2, 4, 8, 16… אחרי 10 דורות הם כאלף, ואחרי 20 דורות כמיליון. מהר מאוד מספרם מגיע לגודל האוכלוסייה כולה. אבל זה עדיין לא כולם, כי הרבה מהצאצאים "נספרים פעמיים": בני דודים מתחתנים זה עם זה. לכן צריך עוד כמה דורות עד שגם האחרונים נכנסים. בעם של מיליון איש, זה לוקח בסך הכול כ-35 דורות.

דוגמה: ב-1701 קבעו הבריטים שרק צאצאי הנסיכה סופיה מהנובר, דרך בנים או בנות, רשאים לרשת את הכתר. כיוון שהזכות עוברת לכל הילדים, מספר הזכאים מוכפל בערך בכל דור. אחרי כ-12 דורות יש כבר כ-5,000 זכאים, ובעוד כמה עשרות דורות כמעט כל הבריטים יהיו ברשימה.

ומה זה אומר לנו?

על הכוזרי. לפי ההלכה, בן של אם יהודייה הוא יהודי, ובן של אב יהודי ואם לא-יהודייה אינו יהודי. אבל לפי הכוזרי, הסגולה עוברת דווקא מהאב. אם כך, בכל פעם שיהודי הוליד בן מלא-יהודייה, הסגולה יצאה מהעם. לאורך הדורות, רובה "דלף" החוצה. ואם הסגולה עוברת גם דרך האם, היא כבר שייכת לכולם.

על כהונה שוויונית. במניינים שוויוניים של התנועה הקונסרבטיבית עולים לברך ברכת כהנים גם כהנים וגם "כהנות", בנות כהנים, כדי שיהיה שוויון בין גברים לנשים.

אבל הרעיון אינו עקבי. אם באמת רוצים שוויון, לא מספיק שבת כהן תברך. צריך שגם היא תוריש את הכהונה לילדיה, בדיוק כמו בן כהן. ואז הכהונה הופכת מייחוס "חזק" לייחוס "חלש", והמתמטיקה ברורה: תוך כמה דורות כמעט כל העם יהיה כהנים. וכשכולם כהנים, הכהונה כבר לא מייחדת אף אחד. השוויון המלא מבטל, בעצם, את הכהונה עצמה.

על ממזרות. ממזר אינו רשאי להתחתן עם יהודי רגיל, אלא רק עם ממזרת. בממזרות, הפגם עובר גם דרך האב וגם דרך האם (קידושין סז:). לכן, אם התערב בעם ולו ממזר אחד, לפני דורות רבים, כמעט בוודאות כולנו צאצאיו, כלומר כולנו ממזרים. ומכאן "היתר" מפתיע: ממזר ידוע יכול להתחתן עם כל אחד, שהרי כולם ממזרים, וממזר מותר בממזרת.

כמה פוסקים ענו שהתורה אוסרת רק ממזר ודאי, ולא מי שיש רק ספק שהוא ממזר. ומשפחה שהפגם שלה נשכח בתוך העם נשארת כשרה לתמיד (בלשון הגמרא: "משפחה שנטמעה – נטמעה", קידושין עא.). לכן מי שלא ידוע כממזר אינו ממזר, גם אם הסטטיסטיקה אומרת אחרת.

אבל מהרמ"א (אבן העזר סוף סימן ד) משמע אחרת. הוא אסר להתחתן עם הקראים (כת שפרשה מהיהדות הרבנית), מפני שיש ביניהם ממזרים. והרי על כל קראי בנפרד אין ודאות שהוא ממזר, אלא רק חשש. ובכל זאת הרמ"א אוסר, ואינו אומר "ספק ממזר מותר" או "משפחה שנטמעה – נטמעה". מכאן שלדעתו, גם חשש ממזרות שמעורב בקבוצה שלמה מספיק כדי לאסור.

על ישו. הנוצרים מסכימים שהמשיח צריך להיות מצאצאי דוד. לכן הברית החדשה פותחת ברשימה של "בן אחר בן" מדוד עד יוסף, אבי ישו. אבל לפי אמונתם, יוסף לא היה אביו הביולוגי. האברבנאל מקשה: אם כך, ישו אינו מזרע דוד! התשובה הנוצרית: גם מרים הייתה מבית דוד. האברבנאל (ישעיהו יא) דוחה גם זאת. ומתמטית, ייחוס דרך האם הוא "חלש": אחרי 42 דורות, כמעט כל יהודי באותו דור היה "מבית דוד".

אותה שאלה עולה על מי שטוענים שהרבי מליובאוויטש הוא המשיח: רשימת היוחסין שלו לדוד עוברת דרך אישה, בתו של בעל התניא.

על המשיח. הגמרא (סנהדרין צח:) אומרת שרבי יהודה הנשיא ראוי להיות משיח, והוא היה מצאצאי דוד דרך בנות. אם ייחוס כזה מספיק, כל אחד מאיתנו מועמד. נשאר רק לצחצח את הכפתורים.